• 2025年3月23日星期日
• 分类于 Algorithm
• 需要 3 分钟阅读时间

最长回文子串

约 623 个字 38 行代码 1 张图片 预计阅读时间 3 分钟

题目链接： 5. 最长回文子串

题解链接：5. 最长回文子串 - 力扣（LeetCode）

中心扩散法

从每一个位置出发，向两边扩散即可。遇到不是回文的时候结束。举个例子，str=acdbbdaa 我们需要寻找从第一个 b（位置为 3）出发最长回文串为多少。怎么寻找？

1. 首先往左寻找与当期位置相同的字符，直到遇到不相等为止。
2. 然后往右寻找与当期位置相同的字符，直到遇到不相等为止。
3. 最后左右双向扩散，直到左和右不相等。如下图所示：

每个位置向两边扩散都会出现一个窗口大小（cur_len）。如果 cur_len > length(用来表示最长回文串的长度）。则更新 length 的值。

因为我们最后要返回的是具体子串，而不是长度，因此，还需要记录一下 length 时的起始位置（start），即此时还要 start = left。

class Solution:
    def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
        if s is None or len(s) == 0:
            return ''
        n = len(s)
        start = length = 0
        for i in range(n):
            left, right, cur_len = i - 1, i + 1, 1
            while left >= 0 and s[left] == s[i]:
                left -= 1
                cur_len += 1
            while right < n and s[right] == s[i]:
                right += 1
                cur_len += 1
            while left >= 0 and right < n and s[left] == s[right]:
                left -= 1
                right += 1
                cur_len += 2
            if cur_len > length:
                length = cur_len
                start = left + 1
        return s[start:start+length]

动态规划

中心扩散的方法，其实做了很多重复计算。动态规划就是为了减少重复计算的问题。动态规划听起来很高大上。其实说白了就是空间换时间，将计算结果暂存起来，避免重复计算。作用和工程中用 redis 做缓存有异曲同工之妙。

我们用一个 boolean dp[l][r] 表示字符串从 i 到 j 这段是否为回文。

试想如果 dp[l][r]=true，我们要判断 dp[l-1][r+1] 是否为回文，只需要判断字符串在 (l-1) 和（r+1) 两个位置是否为相同的字符。

进入正题，动态规划关键是找到初始状态和状态转移方程。

初始状态，l=r 时，此时 dp[l][r]=true。

状态转移方程，dp[l][r]=true 并且 (l-1) 和（r+1) 两个位置为相同的字符，此时 dp[l-1][r+1]=true。

class Solution:
    def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
        if s is None or len(s) == 0:
            return ''
        n = len(s)
        start = end = 0
        length = 1
        dp = [[False] * n for _ in range(n)]
        for r in range(n):
            for l in range(r):
                if s[l] == s[r] and (r - l <= 2 or dp[l + 1][r - 1]):
                    dp[l][r] = True
                    if r - l + 1 > length:
                        length = r - l + 1
                        start, end = l, r
        return s[start:end+1]

if s[l] == s[r] and (r - l <= 2 or dp[l + 1][r - 1]): 这个判断条件的含义是

1. s.charAt(l) == s.charAt(r)

这一部分表示：当前字符串左右两端的字符是否相等。

• 如果 s[l] 和 s[r] 不相等，那么从 l 到 r 之间的子串显然不可能是回文串，因此直接跳过后续判断。

• 如果相等，就进一步判断该子串中间部分是否是回文，从而确定整个子串是否是回文串。

2. (r - l <= 2 || dp[l + 1][r - 1])

这一部分表示：在两种情况下，从位置 l 到 r 的子串可以被确认是回文串。

（1） r - l <= 2

如果 r - l <= 2，说明 l 和 r 之间最多只有 0 个或 1 个字符，这种情况下：

• s[l] == s[r] 就足以判断该子串是回文串了，因为中间的部分要么为空（r - l = 1），要么只有一个字符（r - l = 2）。

• 示例：对于 aba、aa，只需要两端相等即可确认它们是回文。

（2） dp[l + 1][r - 1]

如果 r - l > 2，说明 l 和 r 之间至少隔着两个字符，那么子串 [l+1, r-1] 是否是回文就变得重要。

• dp[l + 1][r - 1] 是一个动态规划数组，记录从位置 l+1 到 r-1 的子串是否是回文。

• 如果 dp[l + 1][r - 1] == true，说明该子串是回文串，再加上 s[l] == s[r]，可以确认 [l, r] 也是回文串。

• 如果 dp[l + 1][r - 1] == false，那么中间部分不是回文，即使两端字符相等，也无法形成回文串。